CONVERCION DE FORMA GENERAL A FORMA ESTANDAR

(CUANDO "a" ES DIFERENTE DE 1)

 

PROBLEMA:

2x"-12x+13

primero agrupamos los terminos cuadraticos y lineal entre coretes:

y=[2x"-12x]+13

despues se factoriza lo que agrupamos anteriormente. con el termino que tiene la x" se divide y lo sacamos de los corchetes:

2[x"-6x]+13

ahora obtenemos "b"

b=-6

y ocupamos la formula:

(b/2)"

(-6/2)" =(-3)"=9

luego se suma y se resta el valor obtenido dentro de los corchetes:

2[x"-6x+9-9]+13

se factoriza para sacr el trinomio cuadrado perfecto:

sacando la raíz cuadrada del primer termino, el signo del segundo y el cuadrado del tercero.

2[(x-3)-9]+13

ahora eliminan los corchetes multiplicando:

2(x-3)-18+13

2(x-3)-5

por ultimo identificamos la formula estandar "a","h" y "k":

a=2       h=3      k=-5

(el signo de ache siempre se cambia)

asi que el vertice esta en (3,-5)

tabulamos:

x    y

5     3

4    -3

3    -5

2    -3

1     3

y graficamos:

 

y listo! ;)



CONVERCION DE FORMA GENERAL A FORMA ESTANDAR.

PROBLEMA:

y=x"-6x+13

En esta conversión utilizaremos el metodo para completar un trinomio cuadrado perfecto.

 

Primero identificamos a, b y c.

a=1     b=-6     c=13

 

Despues aplicamos la siguiente formula:

(b/2)"

(-6/2)"= (-3)"=9

 

Ahora sumamos y restamos el resultado anterior de la siguiente forma:

y=x"-6x+9-9+13

Y factorizamos para obtener un binomio al cuadrado:

sacando la raíz de la x", tomando el signo siguiente y sacando la raíz del siguiente termino:

y=(x-3)"-9+13

y=(x-3)+4

y ahora ya tenemos los nuemeros de la forma estandar "h" y "k".

h=3      k=4

el vertice=(3,4)

 

y tabulamos 2 hacia arriba y 2 hacia abajo:

x   y

1   8

2   5

3   4

4   5

5   8

graficamos:

 

 y por ultimo obtenemos los elementos de la parábola:
ramas: arriba
concavidad: positiva
vertice: (3,4)
eje de simetria:3
minimo:4
listo! ;)



ECUACIÓN CUADRATICA DE FORMA ESTANDAR

La formula estandar es:

y=a(x-h)"+2

 

En donde "a", "h"y "k" según sus valores la grafica se mevera hacia arraba o abajo, a la derecha o a la izquierda y también se podra ensancha o adelgazar.

 

-Cuando"a" es positiva la concavidad de la parábola tambien es positiva.

 

-el valor que tenga "h" es el valor en el eje de las "x" del vertice.

 

-El valor de "k" es el valor en el eje de las "y" del vertice.

 

EJEMPLO:

y=x"+3

a=1

h=0

k=3

 

como dijimos h es x y k es y asi que el vertice esta en:

(0,3)

 

TABULAMOS:

 

x      y

-3     12

-2       7

-1      4

0     3

1     4

2     7

3    12

Y GRAFICAMOS:

 listo! ;)

ANALIZIS DEL DISCRIMINANTE.

PROBLEMAS:

 

f(x)=-x"+3x

primero se factorisa para sacar ya sea el vertice o los puntos en (x,0)

(-x+3)(x+0)=0

-x=-3  x+0   

x=3   x=0

Ahora que vimos que nos salieron dos puntos diferentes usamos la formula para sacr el vertice:

x=-b/2a

x=-3/2(-1)

x=-3/-2

x=3/2

Este sera el punto en x del vertice y sustituyendo en la formula se encuentra el punto en "y":

y=-x"+3x

y=-(1.5)"+3(1.5)

y=-2.25+4.5

y=2.25

y con estos puntos graficamos:

 

 y listo ;)



FUNCIONES CUADRATICAS APARTIR DEL VERTICE Y RAICES.

PROBLEMA:

 

y= x"+2x-3

primero sacaremos las cosas que necesitamos

 

a=1

b=2

c=-3

cuando el vertice esta fuera del origen para poder comenzar a tabular primero se obtiene el punto x del vertice, para obtener x se aplica la formula:

x=-b/2a

x=2/2(1)

x=-2/2

x=-1

Ahora sustituimos en el problema:

y=(-1)"+2(-1)-3

y=1-2-3

y=-4

con esto ya tenemos los dos putos del vertice:

x=-1     y=-4

Para encontrar otros puntos en x ocupamos la formula general:

x1,x2=-2+- √4-4(1)(-3)/2(1)

=-2+- √4+12/2

=-2+- √6/2

x1=-2+4/2

x1=2/2

x1=1

x2=-2-4/2

x2=-6/2

x2=-3

Hasi que la tabulación que da así:

x      y

-3      0

-1      -4

1      0

se colocan seros en la "y" para completarlo y por que siempre que se usa la formula general se colocan.

y la grafica quedara así:

listo!!! ;) 

 

 



FUNCIONES CUADRATICAS CON ELEMENTOS DE UNA PARABOLA.

EJEMPLO:

y=x"

lo que es lo mismo a:

A(x)=x"

vamos a sacar cada uno de los niveles:

a=1

b=0

c=0

los elementos de la parábola que vamos a buscar:

ramas:

concavidad:

vertice:

eje de simetria:

minimo o maximo:

podemos saber la orientación de las ramas y el signo de la concavidad observando "a" si es positivo las ramas van hacia arriba y la concavidad es positiva y si es negativo van hacia abajo y es negativo.

 

Vamos a tabular para encontrar los demas:

x         y

-5         25

-4         16  

-3         9

-2         4

-1         1

0         0

1         1

2         4

3         9

4         16

5         25

El vertice es el punto mas alto o mas bajo asi que en este caso es (0,0)

El eje de simetria sale del vertice la x y el minimo o el maximo del vertice tambien pero de y.

Así que los datos de la parábola se encontraron así:

ramas: arriba

concavidad: positiva

vertice: (0,0)

eje de simetria: 0

minimo: 0

Comprovamos con la grafica.

 

 



PARTES DE UNA PARABOLA.

 

 

 

 

 La parábola es la representación gráfica de una función cuadratica. las características de está son:

 

-EJE DE SIMETRÍA:

  Esta es una linea imaginaria que divide la parábola en 2 como un espejo asi como el eje de simetría de una figura geometrica, tambien la divide en dos. partes esactas y congruentes.

-CONCAVIDAD:

  Este es el sentido de los brazos o ramas de la parábola cuando la parábola es positiva es acia arriba, y cuando es negativa esta mira hacia abajo. tambien es la medida o que tan cerrada o abierta está.

-VERTICE:

   El vertice es el punto medio esacto. Es en donde cruza el eje de simetría o el punto mas alto o bajo de la parábola.

-RAMAS:

  Tambien llamadas brazos. Son las lineas de altura de la parábola apartir del punto medio hacia los lados-abajo o arriba.

-MÁXIMO O MINIMO

Eto se refiere a los brazos de la parábola y como dice es su punto maximo o minimo en la grafica en pocas palabras el largo.

 

 

 Y LISTO!! ;)

 

 

 

 

FUNCIONES CUADRATICAS

PROBLEMA SIMPLE:

 

Un granjero tiene 120m de malla de alambre y con ella decea cercar un terreno de forma rectangular el cual tiene dos paredes una en x y ota en b.¿Qué área puede cercar?

a)Lo largo del terreno se representara con "b" y lo ancho con "x".

el terreno se ve así:

 desarrollo:

La formula del perimetro que usaremos en este rectangulo es:

P=b+x

Ya que solo tendremos 2 lados que ocupar lo que seria lo mismo a:

b+x=120

Tambien usaremos la formula del área:

A=b*a

A=b*x

1.Epezaremos sustituyendo "b" en la formula del perimetro:

(tambien se puede resolver sustituyendo x)

b+x=120

b=120-x

2.Ahora la sustituimos en la formula del área:

A(x)=x(120-x)

A(x)=120x-x"

3.Ahora tabulamos para saber los posibles resultados:

x       área

0           0

20       2000

40       3200

60       3600

80       3200

100      2000

120            0

CON ESTO PODEMOS DECIR QUE EL RESULTADO ESTA DE ENTRE 0 Y 3600

4. Para confirmar que esta bien gráficamos:

 LISTO!! ;)

olis!!