LEY DEL SENO:

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos e los ángulos opuestos.

a/sen a= b/ sen b= c/ sen c

LEY DEL COSENO:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo coprendido.

a"= b"+c"-2bc* cos a

b"= a"+ b"- 2ac* cos b

c"= a"+ b" - 2ab * cos c

listo ;)

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Existen 3 funciones trigonometricas fundamentales seno, coseno y tangente y sus resiprocas son las cosecante, secante y cotangente respectivamente por que:

1/sen a= csc a ------≥  1=csc a * sen a

1/cos a= sec a ------≥ 1= sec a * cos a

1/tan a = cot a ------≥ 1= cot a * tan a

IDENTIDADES DE DIVISIÓN

sen a/ cos a= tan a

cos a/sen a = cot a

IDENTIDADES PITAGORICAS

sen" a + cos" a =1

tan" a + 1 = sec" a

Ejemplo:

DEMUESTRA QUE:

A)tan x/sen x=sec x                                B) tan x* cos x * csc x =1    

sen x/cos x/1 /sen x= sec x                           sen x/cos x* cos x/1 * 1/sen x= 1

1/cos x=sec x                                               1=1

sec x=sec x 

listo ;)

Ecuaciones con funciones trigonometricas.

Se puede obtener x a partir de las funciones por ejemplo:

5x tan30º + 8x sen 60º - 3x cos 45º = 4 tan 45º

5x (0.58) +8x(0.86) - 3x(0.70)= 4(1)

2.9x +6.88x -2.1x=4

7.6x=4

x=4/7.6

x=0.52

Tambien podemos realizar operaciones como:

 4 sen 30º + 2 cos 60º - 5 sen 45º + 3 tan 60º=

4(0.5)+2(0.5)-5(0.707)+3(1.73)=

2+1-3.5+5.1=

4.6

¿Como convertir de grados a radiales?

π(# de grados)/180º

¿Como convertir de radiales a grados?

180º(# de radiales) /π

¿Como convertir de decimales a minutos?

1 grado = 60 min = 60'

1 minuto= 60 seg = 60"

1 grado= 3600 segundos = 3600"

listo ;)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo se obtiene a partir de un ángulo dado y son las siguientes:

seno ángulo= cateto opuesto/hipotenusa

coseno ángulo= cateto adyacente/hipotenusa

tangente ángulo= cateto opuesto/ cateto adyacente

cosecante ángulo= hipotenusa/ cateto opuesto

secante ángulo= hipotenusa/ cateto adyacente

cotangente ángulo= cateto adyacente/ cateto opuesto

Ejemplo:

Primero buscas todos los lados del triángulo.

c"=a"+b"

7"=4"+b"

b"=49-16

b=raizde33

b=5.74

Sacamos las funciones:

sen a=5.74/7=0.82

cos a= 4/7=0.57

tang a=5.74/4=1.43

csc a=7/5.74=1.21

sec a= 7/4=1.75

cot a=4/5.74=0.69

Y por ultimo sacamos el ángulo:

sen a = 0.82

a=sen -1 (0.82)

a=55.08

listo ;)

VOLUMEN

El volumen es el espacio ocupado por una figura medido en metro cubico.

Necesitamos formulas para obtenerla:

CUBO: 

v=L"'

PRISMAS:

v=ab*h

PIRAMIDES:

v=ab*h/3 

CILINDRO:

v= (  r")(h)

CONO:

v= r"*/3

ESFERA:

v=4/3  *r"

EJEMPLO:

Una pecera mide 1.5m de largo, 1m de ancho y 0.80m e altura. Si a una jarra le caben 0.002m"' de agua.¿se puede llenar la pecera con 20 jarras de agua?

Primero sacamos el volumen de la pecera.

(1.5)(1)(0.80)=1.2m"'

Entonces multiplicamos el volumen de la jarra por el numero de jarras.

(0.002)20=0.04m"'

Así que como el numero no es el mismo la respuesta es NO.

listo ;)

Área

El área de una figura es la medida de la superficie osea el espacio que ocupa en otra superficie o las veces que otra cabe en ella.

Para esto necesitamos formulas:

ahora solo falta sustituir valores para sacar cualquiera de las áreas.

Ejemplo:

Un trapecio de 35cm y 45cm sus lados paralelos y 20cm de altura

A= (35+45)20/2

A=80*20/2

A=1600/2

A=800cm"

listo ;)

PERÍMETRO UN POLÍGONO REGULAR

Un polígono es una figura delimitada por lados, cuando esos lados cuando esos lados son iguales y todos los ángulos internos también miden lo mismo entonces es un polígono reglar.

El perímetro es la suma de la medida de sus lados así que se podría decir que el perímetro es la multiplicación de el numero de lados por el valor de uno de ellos.

P=(# lados)(longitud)

Ejemplo:

Calcula el perímetro de un octágono de 39 cm por lado.

8x39=312cm

La formula para sacar el perímetro de un circulo es:

 P=()(diametro)

listo ;)

Teorema de Pitágoras.

La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Este teorema se utiliza solamente en los triángulos rectángulos.

c"=a"+b"

El lado mas largo es C y los otros dos son a o b (cualquiera de los dos puede ser a o b).

Ejemplo:

c=17             17"=a"+10"

b=10             289-100=a"

a=x               raíz cuadrada de 189=a

                    a=13.74

Para verificar si es triángulo rectángulo también podemos usar teorema de pitágoras.

Supongamos que las medidas de un triángulo son 4, 7.5 y 8.5

entonces aplicamos el teorema:

8.5"=4"+7.5"

72.25=16+56.25

72.25=72.25

Así demostramos que si es un triángulo rectángulo.

Cualquier triángulo puede convertirse en rectángulo para obtener sus medidas.

Un ejemplo podría ser uno isosceles cullas medias son 10.

c=10

b=5

a=x

10"=5"+x"

100-25=x"

x=raíz cuadrada de 125

x=11.18

Esta medida que encontramos seria la altura del triángulo isosceles.

listo ;)

ÁNGULOS INTERNOS DE UN POLÍGONO.

Los ángulos internos de un polígono se obtienen dividiendo ese polígono en triángulos para ver cuantos se forman internamente.

La formula podría quedar así:

ángulos internos= (lado-2) 180º

Ejemplo:

Si tenemos un polígono de 52 lados...

(52-2)180º

(50)180º

angulos internos=9000º

TEOREMAS

Si tenemos 2 ángulos complementarios congruentes con otros 2. entonces el complemento de este también sera congruente.

ángulo"a"= ángulo "a' "

ángulo"B"= ángulo " B' "

Si tenemos 2 ángulos suplementarios congruentes con otros 2 en el suplementario de este también sera congruente.

ángulo"a"= ángulo "a' "
ángulo"B"= ángulo " B' "

Usaremos los ya conocidos tipos de ángulos en las rectas:

alternos internos
alternos externos
opuestos por el vértice
correspondientes

Ejemplo:

x+2y=92º    correspondientes

c+92º=180º                x+2(22)=92º

c=180º-92                   x+44=92º

c=88º                         x=92-44

                                 x=48º

"c" es opuesto a "b"

b=88º

"a" y "b" son correspondientes.

a=88º

4y=88º

y=88º/4 =22º

listo ;)

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.  

Los triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque tengan diferente tamaño.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos respectivos son congruentes y sus lados homólogos y proporcionales.

POSTULADO LLL

Si se comparan los lados correspondientes de los triángulos se obtienen las siguientes relaciones.

AB/DE=BC/EF=AC/DE

Ejemplo:

4/24=0.16

5/2/15/1=0.16                              K=0.16

10/3/20/1=0.16


POSTULADO LAL

Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente congruente un ángulo comprendido entre 2 lados proporcionales.

AB/DE=AC/EF      ángulo = ángulo

Ejemplo:




30/21=1.42
                            90º=90º        K=1.42
20/14=1.42

TRIÁNGULOS CONGRUENTES

2 triángulos son congruentes si tienen el mismo tamaño y forma de tal manera que si los superponemos uno con otro coinciden de manera exacta.

Como sabemos la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º y que los tres postulados de congruencia de triángulos son ALA, LAL y LLL.
Ejemplo:

Postulado LAL

triangulo     lado     ángulo

1            I,x        60º

2            I,x         3y

triangulo    lado     ángulo

1           II,x        2x

2            II,x       24º

2x=24º           3y=60º

x=24º/2            y=60º/3

x=12º           y=20º

listo  ;)

TANGENTES DE UNA CIRCUNFERENCIA.

TANGENTE DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO QUE ESTE SOBRE DE ELLA:

1.Obtener el centro de la circunferencia (punto "o")

2. Trazar el radio "o-p"

3. Trazar la perpendicular del radio "op" (alargas un poco el radio para poder trazar la perpendicular)

TANGENTE DE UNA CIRCUNFERENCIA CUANDO EL PUNTO SE ENCUENTRA AFUERA DE ELLA:

1.Encontrar el centro.

2. Trazar el segmeto "o-p"

3. Obtener el punto medio de ese segmento.

4. Abrimos el compas del punto medio al centro.

5. Cruzamos la circunferencia.

6. Se une este punto con el punto "p".

listo ;)

ENCONTRAR EL CENTRO DE UN CIRCULO.

Traza dos cuerdas de la misma longitud en la circunferencia.

Traza la mediatriz de cada una de estas cuerdas.

El punto de intersección de las mediatrices corresponde al centro de la circunferencia.

listo ;)

RECTAS IMPORTANTES DE UN CIRCULO.

¿qué es una circunferencia?

La circunferencia es una linea curva y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

RADIO: Es un segmento cuyos puntos extremos son el centro del circulo y un punto en la circunferencia.

CUERDA: Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

DIÁMETRO: Es un segmento que pasa a través del centro de un circulo y tiene sus puntos extremos en la circunferencia.

TANGENTE: Es una línea que apenas toca a una curva en un punto sin cortarla

SECANTE: Es una linea que intersecta un circulo en exactamente 2 puntos.

listo ;)

POLIGONOS

Los polígonos son figuras formadas por mas de 3 lados los cuales forman su perímetro  Existen polígonos irregulares los cuales son formados por lados de diferente longitud y los polígonos regulares que son formados por lados con la misma longitud.

CONSTRUCCION:

Cuadrado:

1. Trazas un circulo de cualquier longitud

2. Marco su diametro

3.Traza su mediatriz

4. Unes los puntos

Octagono:

1. Traza un circulo

2. Marca su diametro

3. Traza su mediatriz

4. Traza sus bisectrices

5. Une los puntos

Triángulo:

1. Traza un circulo

2. Traza la mediatriz

3. Posado en "a" abre hasta "o" y traza un medio circulo (puntos e y f)

4. Unes b, e y f.

Hexágono:

1. Traza un círculo

2. Traza la mediatriz

3. Posaté en "a" y en "b" y abres hasta "o" y marca 2 medios círculos (puntos e, f, g y h).

4. Unes todos los puntos.

Dodecagono:

1. Traza un circulo

2. Traza la mediatriz

3. Posate en a, b, c y d y marca 4 medios círculos (puntos e, f, g, h, i, j, k y l)

4. Une todos los puntos.

Pentagono:

1. Trazar un circulo.

2. Marcar la mediatriz

3. Posado en "a" abrir hasta "o" y marcar medio circulo.

4. Posicionado en "g" abre hasta "c" y marca medio circulo (punto h)

5. Abre de "c"  a "h" y ve trazando en la circunferencia.

6. Une los puntos.

DESIGUALDAD DE LOS TRIÁNGULOS.

Postulado de la desigualdad:

En todo triángulo la suma de 2 de sus lados cualquiera debe ser mayor  a la medida del lado restante.

Ejercicios:

Determinar si se pueden formar el triángulo con las siguientes medidas e indica que tipo de triángulo es.

4, 5 y 7.

5+4=9  9 es mayor que 7

4+7=11  11 es mayor que 5

5+7= 12  12 es mayor que 4

   SE FORMA UN TRIÁNGULO ESCALENO Y ACUTÁNGULO.

listo ;)

ÁNGULOS CONGRUENTES

PARA DECIR QUE 2 ÁNGULOS SON IGUALES BASTA CON CUMPLIR 1 DE LOS SIGUIENTES POSTULADOS.

1.Postulado LAL: Si 2 lados y él ángulo de 1 triángulo son respectivamente congruentes con 2 lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los 2 triángulos son congruentes.

2.Postulado ALA: Si 2 ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con los 2 ángulos y el lado comprendido con otro triángulo entonces los 2 triángulos son congruentes.

3. Postulado LLL: Si los 3 lados de un triángulo son congruentes respectivamente con los otros 3 lados de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes.

listo ;)

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO.

MEDIATRICES: 

Son las rectas que cortan cada lado en su punto medio y son perpendiculares a dichos lados. El punto donde se intersectan las 3 mediatrices se llama circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita. (por que los 3 vértices del triángulo pertenecen a la circunferencia)

BISECTRICES:
Son las  rectas que dividen a cada ángulo del triángulo en 2 ángulos iguales. Si en un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro y es el centro de la circunferencia inscrita, esta circunferencia es tangente a los 3 lados de un triángulo.

MEDIANAS:
Se trazan de cada vértice al punto medio del lado opuesto. Si se dibujan las 3 medianas de un triángulo el punto donde se intercectan es el punto llamado baricentro.

ALTURAS:
Son los segmentos que se trazan de cada vértice a un punto "p" en el lado opuesto a su prolongación y son perpendiculares a dicho lado. Si se dibuja un triángulo con sus 3 alturas el punto donde se intercectan es llamado ortocentro.

listo ;)

PERPENDICULAR QUE PASA POR UN PUNTO NO COLINEAL.

CONSTRUCCIÓN:

1. Centrar el compas en "P" y abrirlo de tal forma que pase mas que el segmento, cruza el segmento con 2 arcos hacia la derecha y hacia la izquierda estos puntos de intersección serán llamados "a" y "b".

2. Encontrar la mediatriz que pase por "p" del segmento AB.

listo ;)

RECTAS PERPENDICULARES QUE PASAN POR UN PUNTO DADO.

CONSTRUCCIÓN:

-centrar el compas en el punto "p" e intersectar al segmento como del lado derecho como del izquierdo (punto "a" y "b")

- Asiendo centro en "a" el compas abrir mas de la mitad y trazar un arco encima y abajo del segmento.

-Centrando el compas en "b" hacer intersección con los arcos anteriores estos puntos se llaman "q" y "r".

-Unir "q" con "r" para obtener la perpendicular que pasa por el punto "p".

RECTAS PARALELAS.

CONSTRUCCIÓN:

1. se traza un punto "q" que se encuentre sobre la recta "ab" y un segmento de recta "qp".

2.Se traz un punto q' prima sobre el segmento "ab".

3. Se abre el compas de "q" a "p" y se cruza el rayo que esta en el punto "p" y el segmento "ab" (punto r)
5. Centramos el compas en "r" y abrimos hasta "p".
6. Centramos el compas en r' y cruzamos el arco y la intersección sera p'.
7. Por ultimo unimos con un segmento "ab" y p'.

LISTO ;)

BISECCIÓN DE ÁNGULOS.

LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO ES EN EL INTERIOR DE ESTE DE MANERA QUE FORME 2 ÁNGULOS CONGRUENTES.

1.Con el compas centrado en el vértice se traza un arco co circunferencia que cruze ambos lados del ángulo. Las intersecciones se llaman "b" y "c".

2.Con el compas centrado en "b" trazar un arco de circunferencia que quede en el extremo contrario de "a"; (interior al ángulo).

3.Con el compas centrado en "c" y con la misma longitud traza un arco que se intersecte con el anterior el cual forma el puto "p".

4.Se traza un rayo "a-p" que es la bisectriz del ángulo.

listo ;)

PUNTO MEDIO Y MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.

 

 

EL PUNTO MEDIO ES EL QUE SE UBICA JUSTO A LA MITAD DE UN SEGMENTO.

 

MEDIATRIZ ES LA RECTA PERPENDICULAR AL SEGMENTO ORIGINAL Y QUE PASA JUSTAMENTE POR EL PUNTO MEDIO.

 

CONSTRUCCION:

 

1. Con el compas centrado en "a" se abre con una longitud mayor a la mitad y se traza un arco de circunferencia.

2. Con el compas centrado en "b" y la misma amplitud se traza un arco de circunferencia que cruze a la anterior en las puntas "p" y "q"

3. Trazar la redta "p-q" la cual es la mediatriz y el punto de intersección de ambas rectas sera el punto medio "r".

 

 

 listo ;)

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

 

SEGÚN SUS ÁNGULOS:

 

SE DIVIDEN EN:

Triángulos rectángulos: si tiene un ángulo recto.

 

Triángulos agudos: Si tiene 3 ámgulos menores de 90º

 

Triángulos obtusos: Si tiene un ángulo de más de 90º

 

 

SEGÚN SUS LADOS:

 

SE DIVIDEN EN:

Triángulos equiláteros: Son los triángulos cuyos 3 lados son iguales y también sus ángulos.

 

Triángulos isósceles: Dos lados son iguales y dos ángulos iguales.

 

Triángulos escaleno: Todos sus lados son diferentes al igual que sus ángulos.

listo ;)

 

 



ANGULOS CONGRUENTES.

 

Un ángulo es la únion de 2 rayos que tienen el mismo extremo u origen. los ángulos se

denominan por medio del símbolo .......    y una letra mayuscula o griega.

 

....... A         ........ β

 

 

 

Un ángulo congruente tiene la misma medida que el óriginal sin importar la posición.

CONSTRUCCION.

1. Con el compas centrado en "a" ámgulo original, se traza un arco con cualquier radio de forma que corte los dos rayos del ángulo, las intersecciones saeran: "b"y"c"

2. se traza un rayo con origen en "p".

3. Con la avertura que tenia el compas, centramos en "p" y trazamos un arco de circunferencia que cruze el rayo(punto q).

4. Abrir el compas con la longitus "B" -"C" (ángulo original) y centrando en "q" trazamos un arco de circinferencia que cruze el arco anterior(punto r).

5. se traza el rayo uniendo los puntos "p"-"r".

 

listo ;)